„Orice situație în care răspunsul nu poate fi dat imediat constituie o problemă.”- explica Paul Fraisse, referindu-se la problemă. În literatura de specialitate, termenul problemă nu este suficient delimitat şi precizat. Noţiunea de problemă are o sferă largă care cuprinde o gamă variată de preocupări şi acţiuni în foarte multe domenii. După P.P.Neveanu (1990), problema reprezintă o „dificultate teoretică sau practică”. În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o rezolvare, o soluţionare, poartă numele de problemă. Ţinând cont de faptul că orice proces de gândire este declanşat de o întrebare pe care omul şi-o pune sau i se pune, se admite că formularea unui răspuns clar şi precis la o astfel de întrebare constituie o problemă.
În sens restrâns, problema din matematică vizează o situaţie problematică a cărei rezolvare se obţine prin procese de gândire şi calcul. Explicaţia dată problemei de matematică în Dicţionarul explicativ al limbii române este următoarea: chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raţionamente, a unor date; dificultate care trebuie rezolvată pentru a obţine un anumit rezultat. Aşadar, problema de matematică reprezintă răspunsuri la anumite întrebări referitoare la preocupări şi acţiuni bazate pe date numerice, presupune o anumită situaţie ce se cere lămurită în condiţiile ipotezei (valori numerice date şi relaţii între ele) enunţate în text, prin raţionamente şi printr-un şir de operaţii a căror efectuare conduce la rezolvarea acesteia.
Situaţia-problemă conţine elemente specifice conceptului de problemă întrucât reprezintă o structură generativă de probleme (I.Chomsky, 1990). Subiectul constată că procedeele obişnuite, uzuale, cunoscute nu sunt suficiente pentru a construi un raţionament rezolutiv care să conducă spre rezolvare. Situaţia problematică se manifestă ca o neconcordanţă între cerinţele situaţiei, pe de o parte, şi posibilităţile subiectului, pe de altă parte.
„Problema apare deci, ca un obstacol cognitiv în relaţiile dintre subiect şi lumea sa, iar asumarea sarcinii de a depăşi obstacolul, ca şi demersurile cognitive şi tehnice întreprinse în acest scop conturează domeniul rezolvării problemelor”(Neveanu, 1990). Rezolvitorul, în faţa unei situaţii-problemă, „trăieşte simultan două realităţi: una de ordin cognitiv, referitor la experienţa pe care şi-o reactualizează, şi alta de ordin motivaţional, ce rezultă pe baza elementului-surpriză, de noutate şi necunoscut, cu care se confruntă acesta”(I. Radu, 1969). Toate definiţiile pentru noţiunea de problemă vizează efortul de gândire al elevului pentru a înlătura ceea ce îi apare în faţă ca „o barieră, un obstacol”, pentru că unde nu există o sarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat şi rezolvat, acolo finalitatea gândirii lipseşte.
În concluzie, problema de matematică reprezintă transpunerea unei situaţii practice sau a unui complex de situaţii practice în relaţii cantitative care, pe baza valorilor numerice date şi aflate într-o anumită dependenţă unele faţă de altele şi faţă de una sau mai multe valori numerice necunoscute, permit determinarea acestor valori necunoscute. În orice problemă de matematică sunt evidenţiate trei elemente:
- datele, ceea ce este cunoscut şi dat sub formă de valori numerice şi relaţii;
- cerinţele, care indică ce anume trebuie determinat utilizând datele problemei;
- condiţiile, care arată în ce fel cerinţele sunt legate de date.
Pe baza înţelegerii datelor şi a condiţiilor problemei, raportând datele cunoscute la cerinţe şi condiţii, elevul trebuie să construiască şirul de judecăţi care conduce la găsirea soluţiei problemei. Acest şir de raţionamente se constituie într-o metodă de rezolvare a problemelor. Pe măsură ce elevul îşi însuşeşte modalităţi de rezolvare şi experienţa lui în rezolvarea problemelor creşte, se dezvoltă competențele de explorare şi investigare şi capacitatea rezolutivă.
Problemele au ca note comune: structura lor, prin care se stabilesc relaţii de dependenţă între anumite valori, cantităţi sau mărimi exprimate prin numere; felul de soluţionare, modalitatea stabilirii răspunsului, care se obţine cu ajutorul unor operaţii matematice, în care intervin valorile numerice respective.
Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică se înscrie în zona unor rezolvări algoritmice (aplicarea aceleiaşi metode de rezolvare în situaţii identice, cum este cazul metodelor tipice), dar şi în aceea a rezolvării euristice. Astfel, problemele de matematică din ciclul primar se pot clasifica în funcţie de mai multe criterii:
a) după numărul operaţiilor: probleme simple – o singură operaţie, probleme compuse – două sau mai multe operaţii (şirul de raţionamente şi operaţii de rezolvare includ mai multe probleme simple);
b) după conţinutul lor: probleme de geometrie, probleme de mişcare, probleme de amestec şi aliaj, probleme de tip algebric;
c) după gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare: probleme generale, în rezolvarea cărora se foloseşte fie metoda analitică (pornind de la întrebare către datele problemei), fie metoda sintetică (pornind de la datele problemei către întrebare), probleme tipice (particulare), rezolvabile printr-o metodă specifică (metoda grafică, reducerii la unitate, falsei ipoteze, comparaţiei etc.), probleme netipice (nonstandard), cu multiple valenţe formative – probleme recreative, rebusistice, de perspicacitate;
d) după finalitate şi după sfera de aplicabilitate: probleme teoretice, probleme practice – aplicaţii practice ale noţiunilor învăţate;
e) după gradul de implicare a creativităţii, W. Ritman clasifică problemele în cinci categorii (apud Lupu, C., 2006, p. 284 – 285): reproductiv – necreative – ce cuprind probleme de aplicare a algoritmilor de lucru, de consolidare şi înţelegere a operaţiilor matematice, care necesită doar gândire reproductivă, rezolvarea lor implicând folosirea strategiilor algoritmice; demonstrativ – aplicative (inovativ – creative) – probleme ce includ aflarea a două numere când se cunoaşte suma şi diferenţa lor, suma şi raportul, probleme de mişcare, de amestec, aliaje; euristic–creative – probleme ce presupun specificarea cerinţei şi a condiţiilor ce trebuie satisfăcute; inventiv–creative – probleme compuse de elevi după o schemă dată sau probleme cu variabile compuse de elevi; probleme de optimizare (de reproiectare creativă) – problemele care solicită procesul de transfer al cunoştinţelor fie de la alte discipline, fie din realitate (sunt specifice elevilor mai mari, având un grad de dificultate sporit);
f) după rolul lor: probleme cu rol informativ: utile în practică, de cultură generală; probleme cu rol formativ: de exersare a gândirii, de educare a creativităţii.
Un alt criteriu în funcţie de care se pot clasifica problemele de matematică este şi după tipul de raţionament solicitat (după metoda folosită), conform căruia sunt (apud Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 129): probleme tipice care solicită un raţionament de tip convergent (probleme rezolvabile prin diferiţi algoritmi: metoda figurativă, reducerii la unitate, falsei ipoteze, comparaţiei etc.), probleme netipice care solicită un raţionament de tip divergent şi metode euristice de rezolvare.
În rezolvarea problemelor intervin o serie de procedee, de moduri de acţiune, deprinderi de muncă intelectuală independentă. Unele deprinderi au caracter general, ca: orientarea activităţii mintale asupra datelor problemei, separarea datelor cunoscute de cele necunoscute, selectarea acelor cunoştinţe care ar folosi la rezolvarea problemei. Aceste deprinderi se formează prin exerciţiu. Cu toată varietatea lor, problemele nu sunt izolate, fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie. Rezolvând probleme care au acelaşi mod de organizare a judecăţilor, deci acelaşi raţionament, în mintea elevilor se conturează schema mentală de rezolvare, ce se constituie într-un algoritm de lucru care se învaţă, se transferă şi se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea modului de rezolvare a unei probleme este simplă în cazul în care elevul poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscut. Această subsumare poate fi corectă numai dacă elevul a înţeles particularităţile tipice ale categoriei respective, raţionamentul rezolvării ei, dacă o poate descoperi şi recunoaşte în diferite contexte sau sub diverse forme de prezentare.
Actul recunoaşterii şi încadrării problemei în categoria din care face parte este un act creativ. În cazul rezolvării unei probleme noi, activitatea de rezolvare poate fi în întregime un act de creaţie.
Bibliografie
1. Cârjan, F., 2008, Didactica matematicii, Editura Corint, Bucureşti
2. Cerghit, I., Radu, I.T., Popescu, E., Vlăsceanu, L, 1991, Didactica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti
3. Cosmovici, A., Iacob, L., 1999, Psihologie şcolară, Editura Polirom, Iaşi
4. Cucoş, C., 2000, Pedagogie, Editura Polirom, Iaşi
5. Cucoş, C.(coord.), 1998, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare şi grade didactice, Editura Polirom, Iaşi
6. Dumitriu, Gh., 2004, Sistemul cognitiv şi dezvoltarea competenţelor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti
7. Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, Psihopedagogie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti
8. Lupu, C., 2006, Didactica matematicii, Editura Caba, Bucureşti
9. Neacşu, I. (coord.), 1988, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti
10.Turcu, F., Turcu, A., 1999, Fundamente ale psihologiei şcolare, Editura All, Bucureşti