Matematica ca știință are un caracter abstract, deși la început se preocupa cu rezolvarea problemelor din lumea reală. Abstractizarea matematicii începe treptat în gimnaziu, devenind mai greu de înțeles pentru mulți elevi. Pentru a sprijini înțelegerea și însușirea noțiunilor matematice de către elevi, profesorul trebuie să vină cu exemple practice ori de câte ori este posibil acest lucru.
Aș dori să prezint un exemplu cunoscut și folosit de către elevi, care se leagă de noțiunea de asemănare.
Asemănarea triunghiurilor este inclusă în programa școlară la clasa a VII-a la geometrie, dar elementele introductive legate de rapoarte și proporții le învață elevii la clasa a VI-a, la algebră.
În manualul de clasa a VII-a, apare definiția asemănării triunghiurilor în modul următor: „Două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate unghiurile respectiv congruente și toate laturile respectiv proporționale.” Definiția se poate da și pentru alte figuri geometrice (nu neapărat plane).
În geometria euclidiană, două obiecte sunt asemenea dacă ambele au aceeași formă sau unul poate fi obținut din celălalt prin mărire sau micșorare eventual cu translații, rotații și reflexii suplimentare.
Exemplul prezentat aici se referă la dimensiunile standard a câtorva tipuri de hârtii format A.
Codul ISO – Dimensiuni în milimetri (rotunjite la cel mai apropiat număr întreg)
- A0 – 841×1189
- A1 – 594×841
- A2 – 420×594
- A3 – 297×420
- A4 – 210×297
- A5 – 148×210
(ISO 216 – International Organization for Standardization – este un standard care specifică mărimile formatelor de hârtie folosite de majoritatea țărilor, printre care și România, a fost introdus în 1975.)
Dacă studiem forma și dimensiunile acestor tipuri de hârtii, putem observa că acele dreptunghiuri (coli de hârtii) sunt asemenea.
Pentru verificarea relației de asemănare comparăm câteva perechi de dreptunghiuri, calculând rapoartele lungimilor respectiv lățimilor, și acele rapoarte trebuie să fie egale. La efectuarea împărțirilor ținem cont de faptul că dimensiunile sunt date în valori rotunjite în mm
- A0 și A1 Raportul lungimilor: 1189/841≈1,41; Raportul lățimilor: 841/594≈1,41
- A1 și A2 Raportul lungimilor: 841/594≈1,41; Raportul lățimilor: 594/420≈1,41
- A2 și A3 Raportul lungimilor: 594/420≈1,41; Raportul lățimilor: 420/297≈1,41
- A3 și A4 Raportul lungimilor: 420/297≈1,41; Raportul lățimilor: 297/210≈1,41
- A4 și A5 Raportul lungimilor: 297/210≈1,41; Raportul lățimilor: 210/148≈1,41
Folosind tranzitivitatea relației de asemănare obținem că toate dreptunghiurile sunt asemenea (Două figuri geometrice, ambele asemenea cu o a treia figură geometrică sunt asemenea între ele)
Coeficientul de asemănare obținut este 1,41≈√2
În continuare ne putem referi și la raportul ariilor a două figuri asemenea, care este egal cu pătratul raportului de asemănare.
Aria hârtiei A0 este aproximativ egal cu 1 metru pătrat. În cazul dreptunghiurilor studiate raportul ariilor trebuie să fie aproximativ egal cu 2, ceea ce se poate verifica prin calcule.
O observație la urmă: De această asemănare se folosesc imprimantele, ele putând transforma un document de exemplu din format A3 în A4 (sau invers)
Prin folosirea unor exemple concrete, cunoscute de către elevi, putem face noțiunile matematice abstracte mai accesibile elevilor.
Bibliografie
Aspire Teachers: Cursul ”Mate, date, date și viața noastră”
Sorin Doru Noaghi, Dorin Linț, Maranda Linț, Lucian Nicolae Pițu, Matematică manual pentru clasa a VII-a, Editura Litera
Wikipedia