Studiul funcțiilor reprezintă un capitol fundamental în matematica de clasa a IX-a, constituind baza pentru înțelegerea ulterioară a analizei matematice. Dificultățile întâmpinate frecvent de elevi sunt legate de gradul ridicat de abstractizare, de trecerea de la expresia algebrică la reprezentarea grafică și de interpretarea proprietăților funcțiilor. În acest context, utilizarea aplicației GeoGebra oferă un suport digital eficient, facilitând învățarea vizuală.
În continuare, vor fi prezentate câteva tipuri de exerciții din capitolul Funcții rezolvate cu ajutorul aplicației Geogebra, evidențiind beneficiile pe care le aduce folosirea acestui instrument digital.
1. Studiul funcțiilor de gradul al doilea
Se dă funcția:
f(x) = x2 − 4x + 1
a) Determinați coordonatele vârfului parabolei.
b) Stabiliți intervalele de monotonie.
c) Determinați valorile lui x pentru care f(x) ≤ 0.
În exercițiile care vizează determinarea vârfului, a intervalelor de monotonie și a soluțiilor inecuațiilor, elevii întâmpină dificultăți în corelarea calculelor algebrice cu semnificația lor geometrică şi interpretarea rezultatului final.
GeoGebra permite:
- vizualizarea imediată a parabolei, astfel facilitând identificarea punctului de extrem,
- confirmarea rezultatelor obținute algebric, ceea ce crește încrederea elevilor,
- observarea efectului coeficienților asupra formei și poziției graficului.
2. Funcții definite pe intervale
Se consideră funcția:
{█(x^(2 ) x≤1@2x-1 x>1 ) ┤
a) Reprezentați grafic funcția.
b) Stabiliți dacă funcția este continuă în x = 1.
Funcțiile definite prin mai multe expresii sunt dificil de înțeles la nivel teoretic pentru elevii de clasa a IX-a, astfel GeoGebra:
- evidențiază modul în care sunt conectate graficele,
- face vizibilă diferența dintre valoarea funcției și limitele laterale,
- sprijină introducerea intuitivă a noțiunii de continuitate.
3. Compararea și intersectarea funcțiilor
Se dau funcțiile:
f(x) = x2, g(x) = 2x +3
a) Determinați punctele de intersecție.
b) Rezolvați inecuația x2 ≥ 2x+3.
În cazul inecuațiilor de forma f(x) ≥ g(x) elevii adesea confundă metodele algebrice şi întâmpină dificultăți în interpretarea soluțiilor. GeoGebra oferă:
- o metodă grafică clară, prin poziția relativă a graficelor,
- identificarea rapidă a punctelor de intersecție,
- delimitarea corectă a intervalelor soluție.
4. Studiul dependenței în funcție de parametru
Se dă funcția:
f(x) = x2 + mx +1
Determinați valorile lui m pentru care funcția are două rădăcini reale distincte.
Exercițiile cu parametru sunt considerate de nivel mai ridicat deoarece solicită analiza mai multor situații posibile şi presupun generalizare. GeoGebra, prin utilizarea cursorilor, permite:
- explorarea dinamică a variației parametrului,
- observarea imediată a condițiilor de existență a rădăcinilor,
- formularea de posibile raspunsuri înainte de demonstrarea analitică.
5. Maxime și minime fără derivată
Determinați valoarea minimă a funcției:
f(x) = x2 − 6x + 5
În programa de clasa a IX-a, extremele funcțiilor de gradul al doilea se determină fără derivată, ceea ce poate genera atât dificultăți în interpretarea completării pătratului cât şi confuzii între minim și maxim. GeoGebra:
- evidențiază vizual vârful parabolei,
- asociază coordonata y a vârfului cu valoarea extremă.
Concluzie
Integrarea aplicației GeoGebra în studiul funcțiilor de clasa a IX-a conduce la înțelegere conceptuală profundă, dezvoltarea gândirii matematice și grafice, creșterea interesului și a motivației pentru matematică. Ea favorizează formarea competențelor, nu doar a algoritmilor, permite diferentierea sarcinilor (explorare suplimentară pentru elevii avansați) şi oferă suport elevilor cu dificultăți de abstractizare.