Tema pentru acasă reprezintă o modalitate prin care elevul exersează priceperile și deprinderile dobândite în timpul lecției, care asigură retenția și transferul cunoștințelor. Ea trebuie să reprezinte o continuare firească a activităților desfășurate în clasă. De aceea, este necesară corelarea temei cu obiectivele urmărite în timpul lecției și adaptarea ei la nivelul de vârstă, la posibilitățile de înțelegere, interesul și specificul clasei de elevi.
Manualele alternative, auxiliarele și culegerile de probleme, publicațiile de specialitate tipărite sau din mediul online oferă posibilități diverse de selectare a problemelor pentru temele de acasă. Alegerea trebuie făcută atent, responsabil, având grijă la calitatea problemelor, precum și la alte aspecte esențiale, cum ar fi:
- să reprezinte o continuare naturală a activităților din clasă, punând accent pe recapitulare, reproducere a unor rezultate, dar și pe activități creatoare ale elevilor;
- tema trebuie să conțină cât mai multe cunoștințe din lecția respectivă sau din lecțiile anterioare;
- să fie gradată în ceea ce privește nivelul de dificultate;
- să creeze imaginea unei angajări intelectuale a elevului;
- să poată fi rezolvată fără a determina supraîncărcarea sau saturarea elevului;
- să fie diferențiate astfel încât orice elev al clasei să poată aborda sarcini de lucru cuprinse în temă.
De multe ori, profesorul se întâlnește cu refuzul elevului de a-și face tema pentru acasă, acesta justificând că nu o înțelege sau că i se pare prea grea pentru capacitățile sale. Sarcina profesorului este de a găsi modalități prin care să-și lămurească elevii asupra etapelor pe care le au de parcurs pentru rezolvarea temei, etape care sunt, în esență, aceleași ca și la rezolvările efectuate în clasă. De aceea, în timpul lecției, nu trebuie doar găsită soluția unei probleme, ci, mai ales, trebuie insistat asupra modului în care s-a ajuns la acea soluție. Tot în clasă, elevul trebuie să se familiarizeze cu problemele: enunțurile vor fi recitite, comentate, reformulate, identificând ipoteza și concluzia.
Elevii trebuie să fie conștienți că nu vor putea rezolva probleme dacă nu cunosc noțiunile teoretice (definiții, teoreme, axiome, proprietăți etc.) sau dacă neglijează stabilirea unor corelații între datele problemelor și cunoștințele însușite anterior. Exploatarea fiecărei informații oferite de problemă va genera o „idee salvatoare”, care va conduce la găsirea soluției.
Nu în ultimul rând, atenția trebuie îndreptată asupra verificării corectitudinii rezultatului obținut, dar și asupra redactării și a prezentării soluției găsite.
Trebuie atrasă atenția și asupra faptului că o problemă poate să admită mai multe soluții și că poate să fie rezolvată prin mai multe metode. Identificând și comparând metode distincte de rezolvare (din punct de vedere al dificultății, complexității calculelor, al lungimii prezentării etc.), elevii au șansa de a proba corectitudinea rezultatelor și totodată crește încrederea în forțele proprii, în temeinicia cunoștințelor pe care le dețin și în utilizarea instrumentului matematic.
În continuare, vom prezenta două propuneri de temă pentru acasă, potrivite pentru două lecții având ca subiect „Teorema lui Fermat”.
Tema nr. 1 (Teorema lui Fermat)
1) Să se determine punctele critice ale funcțiilor 𝑓: 𝐷 → ℝ, dacă:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2;
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 15𝑥2 + 24𝑥 + 3;
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ln 𝑥;
d) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 6𝑥 − 15)𝑒𝑥;
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 √𝑥+2 ;
f) 𝑓(𝑥) = cos²2𝑥.
2) Se consideră funcțiile 𝑓, 𝑔, ℎ ∶ ℝ → ℝ, date prin 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4, 𝑔(𝑥) = |𝑥2 − 4| și ℎ(𝑥) = ³√𝑥2. Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Fermat în cazurile:
a) 𝑥 ∈ [−4, −3];
b) 𝑥 ∈ (−4, −3);
c) 𝑥 ∈ [−3, 3];
d) 𝑥 ∈ (−3, 3).
3) Se consideră funcția 𝑓: [0, 1] → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Să se arate că 𝑥1 = 0 și 𝑥2 = 1 sunt puncte de extrem ale funcției 𝑓, dar 𝑓′(0) ≠ 0 și 𝑓′(1) ≠ 0. Se contravine teoremei lui Fermat?
4) Se consideră funcția 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − (𝑚 + 1)𝑥 + 𝑛, unde 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ. Să se calculeze 𝑓(0)+𝑓′(0) știind că 𝑥1 = −1 este punct de maxim local al funcției 𝑓, iar valoarea maximă corespunzătoare este 6.
5) Dacă 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 sunt numere reale strict pozitive și 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥 ≥ 4, (∀)𝑥 ∈ ℝ, atunci 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑 = 1.
Tema nr. 2 (Teorema lui Fermat)
1) Să se determine punctele critice ale funcțiilor 𝑓: 𝐷 → ℝ, dacă:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 |𝑥|+1 ; b) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 − 1, 𝑥 < 1 0, 𝑥 = 1 ln 𝑥, 𝑥 > 1 .
2) Determinați o funcție polinomială 𝑓: ℝ → ℝ de grad minim, astfel încât să admită un maxim egal cu 6 în 𝑥0 = 1 și un minim egal cu 2 în 𝑥1 = 3.
3) Fie 𝑎1, 𝑎2 ∈ ℝ, 𝑏1, 𝑏2 ∈ ℝ+∗ ∖ {1} astfel încât 𝑎1𝑏1𝑥 + 𝑎2𝑏2𝑥 ≥ 𝑎1 + 𝑎2, (∀)𝑥 ∈ ℝ. Să se arate că 𝑏1𝑎1 ∙ 𝑏2𝑎2 = 1. Generalizare.
4) Se consideră numerele 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ (0, +∞) care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi. Să se arate că, dacă ( 2𝑎 𝑏+𝑐 )𝑥 + ( 2𝑏 𝑎+𝑐 )𝑥 + ( 2𝑐 𝑎+𝑏 )𝑥 ≥ 3, (∀)𝑥 ∈ ℝ, atunci triunghiul este echilateral.
5) Fie funcția 𝑓: [0, +∞) → ℝ, derivabilă, cu derivata continuă, 𝑓(0) = 1, |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑒−𝑥, (∀)𝑥 ≥ 0. Să se arate că există 𝑐 > 0 astfel încât 𝑓′(𝑐) = −𝑒−𝑐.
Prezentăm câteva observații legate de alegerile făcute.
Exercițiul 1 de la prima temă este accesibil tuturor elevilor. Exercițiul cu numărul 2 oferă elevilor familiarizarea cu teorema lui Fermat. Al treilea exercițiu necesită un plus de atenție. Desigur, nu se contrazice teorema lui Fermat, deoarece punctele de extrem nu se află în interiorul intervalului de studiu. Al patrulea exercițiu necesită înțelegerea și aplicarea teoremei lui Fermat, iar ultimul exercițiu din temă, cel cu numărul 5, cere din partea elevului perspicacitate și inspirație. El trebuie să construiască o funcție și, pentru aceasta, să verifice că sunt îndeplinite condițiile de aplicabilitate ale teoremei lui Fermat.
În ceea ce privește exercițiile propuse pentru acasă ca temă, după a doua lecție consacrată teoremei lui Fermat, putem menționa următoarele aspecte:
- la primul exercițiu trebuie atenție la studiul derivabilității unei funcții cu ramuri în punctul în care funcția își schimbă forma, cu un plus de atenție la a doua funcție;
- exercițiile cu numărul 2, 3 și 4 vizează aplicarea teoremei lui Fermat, dar rezolvarea necesită un efort mai mare de gândire și priceperea de a lucra cu o funcție ce nu este explicit dată;
- problema cu numărul 5 este mai dificilă, deoarece necesită o înțelegere mai profundă a instrumentului matematic și este destinată în special elevilor cu aptitudini deosebite.
În cele două modele oferite, exercițiile sunt dispuse gradat în ceea ce privește nivelul de complexitate, având drept scop fixarea teoremei lui Fermat și utilizarea ei pentru a obține alte rezultate, cât și stimularea creativității elevilor. S-au utilizat și exerciții care au necesitat o reactualizare a unor cunoștințe anterioare (stabilirea domeniului de definiție al unei funcții, rezolvarea unor categorii de ecuații, studiul derivabilității unei funcții într-un punct, derivatele funcțiilor elementare și compuse, reguli de derivare etc.). Recapitularea se constituie într-un antrenament benefic pentru aplicarea noțiunilor în lecțiile următoare.
Bibliografie
1. Banea, H. – Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 1998.
2. Catană, A., Săcuiu, M., Stănășilă, O. – Metodica predării analizei matematice, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.
3. Ene, S. – Tema pentru acasă, preluat pe 15.02.2017 de pe http://www.asociatiaprofesorilor.ro/tema-pentru-acasa.html.