În clasa a VII-a este pentru prima dată când elevii de gimnaziu studiază sistemele de ecuații. Aceste sisteme sunt alcătuite din două ecuații cu două necunoscute. Rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două necunoscute înseamnă să găsești valorile necunoscutelor (de obicei x și y) care satisfac ambele ecuații simultan. Asta înseamnă că valorile găsite trebuie să fie adevărate pentru ambele ecuații.
O pereche ordonată de numere reale (x; y) care verifică simultan cele două ecuații se numește soluție a sistemului. Soluția sistemului, notată S, este intersecția mulțimilor soluțiilor S1 și S2 ale celor două ecuații.
Metoda substituției
Metoda substituției constă în izolarea unei necunoscute dintr-o ecuație și înlocuirea acesteia în cealaltă ecuație. Astfel, sistemul devine mai simplu, cu o singură necunoscută. Pașii care trebuie urmați pentru a rezolva un sistem de două ecuații cu două necunoscute, folosind metoda substituției sunt următorii:
Izolarea unei necunoscute: Alegi o ecuație și izolezi o necunoscută (de exemplu,x).
Substituirea: Înlocuiești expresia izolată în cealaltă ecuație, obținând o ecuație cu o singură necunoscută.
Rezolvarea ecuației: Rezolvi ecuația obținută și determini valoarea necunoscutei rămase (de exemplu,y).
Determinarea celeilalte necunoscute: Înlocuiești valoarea găsită în expresia izolată (din pasul 1) pentru a determina cealaltă necunoscută (de exemplu,x).
Scrierea soluției: Soluția finală este o pereche ordonată (x,y).
Metoda reducerii
Metoda reducerii este o tehnică de rezolvare a sistemelor de două ecuații cu două necunoscute care constă în eliminarea uneia dintre necunoscute prin adunarea sau scăderea ecuațiilor. Scopul este să obținem o ecuație cu o singură necunoscută, pe care să o rezolvăm ușor.
Pașii care trebuie urmați pentru a rezolva un sistem de două ecuații cu două necunoscute, folosind metoda reducerii sunt următorii:
Aducerea sistemului la formă standard: Scriem ambele ecuații sub forma: ax+by=c.
Egalarea coeficienților unei necunoscute: Dacă necunoscuta pe care vrem să o eliminăm are coeficienți diferiți, înmulțim ecuațiile cu numere astfel încât coeficienții să devină egali sau opuși.
Eliminarea necunoscutei: Adunăm sau scădem ecuațiile pentru a elimina una dintre necunoscute.
Rezolvarea ecuației cu o necunoscută: Rezolvăm ecuația rezultată pentru a afla valoarea celeilalte necunoscute.
Determinarea celeilalte necunoscute: Înlocuim valoarea găsită într-una dintre ecuațiile inițiale pentru a găsi cealaltă necunoscută.
Scrierea soluției: Soluția sistemului este o pereche ordonată (x,y).
Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor
Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor este o metodă folosită pentru a traduce o situație practică într-un model matematic (o ecuație) și pentru a găsi soluția acesteia.
Pași generali pentru rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor:
Citirea și înțelegerea problemei: Identificăm ce trebuie să aflăm și ce date sunt oferite.
Notarea necunoscutei: Alegem o necunoscută (de exemplu, x) care să reprezinte valoarea pe care o căutăm. Dacă problema implică mai multe mărimi, exprimăm celelalte mărimi în funcție de x.
Scrierea ecuației: Formulăm o ecuație care să descrie relația dintre mărimile din problemă.
Rezolvarea ecuației: Rezolvăm ecuația obținută și determinăm valoarea necunoscutei.
Verificarea soluției: Verificăm dacă soluția găsită respectă condițiile problemei.
Scrierea răspunsului: Redactăm răspunsul în funcție de cerințele problemei.
(OpenAI, 10 Martie 2025)
Bibliografie
Cărți și manuale:
1. Singer, Mihaela; Voica, Cristian; Voica, Consuela – Matematică. Manual pentru clasa a VIII-a, Editura Sigma, București, 2000.
2. Balmuş, Constantin; et al. – Matematică. Manual pentru clasa a VII-a, Editura [numele editurii], anul publicării.
3. Gheorghe, Radu; Popescu, Elena – Algebră pentru gimnaziu, Editura [numele editurii], anul publicării.
4. Stoian, Ion – Culegere de probleme de matematică pentru clasa a VII-a, Editura [numele editurii], anul publicării.
Resurse online:
5. Digitaliada – Proiect didactic: Sisteme de două ecuații de gradul I, cu două necunoscute, disponibil la 10.03.2025 .
6. Didactic.ro – Rezolvarea sisteme de ecuații 2 ecuații cu 2 necunoscute, material disponibil la 10.03.2025.