Fără să avem pretenţia unei definiţii ştiinţifice şi folosind un limbaj mai „pământesc“, am putea spune că prin problemă de construcţii geometrice înţelegem problema desenării unei (unor) figuri geometrice, pornind de la anumite elemente date, folosind anumite instrumente geometrice, respectând anumite reguli clare şi urmând un anumit itinerariu logic cu un număr finit de paşi.
Plecând de la metodele generale de rezolvare a problemelor de matematică, experienţa înaintaşilor noştri a scos în evidenţă o etapizare (o schemă de rezolvare a problemelor de construcţii geometrice) ce presupune următoarele etape: 1. Analiză -> 2.Construcţie -> 3.Demonstraţie -> 4.Discuţie.
Această etapizarea nu trebuie gândită dogmatic; cele patru etape se pot întrepătrunde, reordona, relua şi chiar lipsi.
Aşadar, etapele rezolvării problemelor de construcţii geometrice cu rigla şi compasul începe cu Analiza care presupune deja existenţa unei figuri geometrice cu notaţiile…, verificând condiţiile… şi având particularităţile… Faţă de etapele obişnuite de rezolvare a unei probleme de matematică în general, care încep prin „se citeşte cu atenţie întreg enunţul problemei“, „se extrag datele cunoscute şi necunoscute“ etc, această abordare pare să înceapă brusc, sărind peste anumite etape de început, iar sintagma „Presupunem problema rezolvată“ pare să se transforme în „N-ai desenat deja?!“.
Pe lângă studiul asupra textului problemei, orice problemă de geometrie şi, în special, problemele de construcţii geometrice, începe cu imperativul DESENEAZĂ. Pentru asta, se presupune că rezolvitorul are cunoştinţele geometrice necesare, stăpâneşte instrumentele geometrice şi tehnica construcţiilor suficient de bine pentru ca întreaga atenţie şi inspiraţie să fie îndreptată către construirea unei configuraţii geometrice suficient de clară, sugestivă şi precisă care să poată sta la baza rezolvării problemei.
Aşa cum orice cercetaş, înainte de a explora un ţinut necunoscut, pe lângă un set de cunoştinţe, reguli şi tehnici de supravieţuire, trebuie să aibă şi o trusă minimală indispensabilă în aventura sa, am putea spune că orice incursiune în tărâmul geometriei euclidiene trebuie să se facă cu instrumentele geometrice în mână. Dar, să ne întoarcem la „şcoala de cercetaşi“ şi să vedem ce ne pune la dispoziţie.
Studiind programele şcolare pentru disciplina matematică din învăţământul preuniversitar, observăm că elementele de geometrie îşi fac apariţia timid, la nivel intuitiv (aşa cum este normal în raport cu stadiul de dezvoltare psihică a şcolarului), ca o etapă pregeometrică în care introducerea unor reprezentări geometrice este strâns legată de forma și dimensiunile unor corpuri concrete din mediul înconjurător. În această etapă (clasele I-V) elevul reuşeşte deja să clasifice, să ierarhizeze, să sintetizeze şi să compare, să conserve distanţe, arii, volume, greutăţi şi să sesizeze intuitiv atunci când forma unora suferă modificări.
Tot timid şi sub directa îndrumare a învăţătorului şi profesorului de clasa a V-a, îşi fac apariţia, în mod oficial, şi instrumentele geometrice (diferite şabloane, rigla gradată şi echerul, pentru început) ca o necesitate în a reprezenta diferite forme geometrice elementare. Abia în programa nouă de clasa a V-a (aspect asupra căreia simt nevoia să fac un comentariu mai târziu) apare noţiunea de a construi (competenţa 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații geometrice ).
Scopul acestor achiziţii geometrice elementare ale elevilor din clasele I-V asigură trecerea de la stadiul operaţiilor concrete, pregătită prin perceperea, observarea, analizarea şi generalizarea proprietăţilor spaţiale ale unor obiecte reale, la etapa gândirii formale (începând cu clasa a VI-a şi pe tot parcursul adolescenţei), la geometria bazată pe raţionamente logico-deductive.
Este important să nu se grăbească introducerea demonstraţiei decât spre finalul clasei a VI-a. Psihologii sunt de părere că, până la această vârstă, evoluţia mentală a copilului încă nu permite introducerea axiomatică a geometriei şi există riscul să se piardă aproape complet ideea existenţei unei legături între geometrie şi realitatea obiectivă. Această convingere este cel mai bine evidenţiată de către matematicianul H.Freudenthal: „Într-o zi copilul va întreba «de ce?», şi nu este de folos să începem geometria sistematică înainte ca acel moment să fi venit. Ba mai mult, i-ar putea dăuna cu adevărat. Dacă am căzut de acord asupra predării geometriei ca un mijloc de a-i face pe copii să simtă forţa spiritului omenesc, a propriului lor spirit, nu trebuie să-i lipsim de dreptul de a face ei insuşi descoperiri. Cheia geometriei este expresia «de ce». Numai ucigaşii de bucurii vor înmâna cheia mai devreme“ .
Orice profesor de matematică de gimnaziu poate spune că introducerea la clasa a VI-a a geometriei, ca ramură distinctă a matematicii, are un impact major în rândul elevilor obişnuiţi cu un tipar anume de judecată matematică abia însuşit din lecţiile de aritmetică. Din primele ore de geometrie se observă o diferenţiere între elevi care înţeleg şi le place această disciplină, şi elevi care manifestă dificultăţi şi/sau dezinteres faţă de aceasta. Aici rolul profesorului este covârşitor şi, dincolo de competenţe, strategii şi idealuri, planificari şi număr de ore alocat, succesul este asigurat de experienţa, pregătirea, calmul, stilul, dăruirea şi, de ce nu, de acele „şiretlicuri matematice“ pe care acesta le pune la dispoziţia elevilor.
Şi, dacă tot s-au stabilit câteva noţiuni precum punct, dreaptă, semidreaptă, plan, unghi şi câteva relaţii precum congruenţa, paralelismul, perpendicularitatea, brusc îşi face apariţia şi ideea de construcţie geometrică cu rigla şi compasul (fără să ne amintim când a mai fost folosită noţiunea de compas în programa şcolară până la acel moment) sub forma construirii unui segment congruent cu un segment dat, construcţia mediatoarei unui segment şi construcţia bisectoarei unui unghi. Se face o pauză „bine meritată“, apoi îşi mai fac apariţia prin clasa a VII-a, puţin pe la asemănare, pe la cerc, pe la poligoanele regulate, după care se aşterne somnul etern peste problemele de construcţii geometrice cu rigla şi compasul. Din când în când, pe ici pe colo, mai îndrăzneşte câte un profesor, fie din pasiune, fie din alte raţiuni să-i mai deranjeze somnul cu câte o propunere de opţional la clasele VI-VIII sau la liceele cu profil tehnologic la disciplina desen tehnic.
Este de lăudat ideea celor de la şcolile Waldorf care, prin ideile expuse în programa de matematică, fac trecerea de la geometria mediului înconjurător la geometria bazată pe raţionamente logico-deductive prin rezolvarea diferitelor probleme de construcţii geometrice, lăsând elevul să descopere noţiuni, relaţii, propoziţii axiomatice şi asta pentru că, în viziunea lor „Construcţiile geometrice reprezintă o combinaţie de imaginaţie şi de activitate manuală concretă“ şi „…acest lucru corespunde bine înclinaţiilor copiilor de această vârstă“ în ideea de „…a face geometria mai accesibilă; ea să nu fie considerată o materie aridă şi prea abstractă“ .
După ce am văzut ce părere are matematicianul H. Freudenthal despre introducerea timpurie a geometriei bazată pe raţionamente şi după ce am citit programa de matematică aplicată în şcoala Waldorf, mă întorc, aşa cum am promis, la noua programă şcolară de matematică propusă începând cu anul şcolar 2017 – 2018 şi, referindu-ne strict la partea de geometrie la clasa a V-a, observăm o „decongestionare“ a materiei de conţinutul ştiinţific (cerinţă arzătoare a profesorilor de matematică, a părinţilor şi elevilor) prin congestionarea acesteia introducând, faţă de vechea programă, două noţiuni noi: Dreapta (inclusiv axioma dreptei) şi Unghiul – reprezentând aproximativ 15-20% din geometria de clasa a VI-a. Asta în condiţiile în care nici numărul de ore alocat nu se schimbă, nici geometria de clasa a VIII-a nu suferă modificări, obţinându-se doar o decongestionare a materiei de clasa a VII-a şi transferarea, în cascadă, a mai multor noţiuni abstracte spre clasa a VI-a şi a V-a (elevi de 10-11 ani).
Această „flexibilizare a curriculumului“ a ţinut cont (scrie în document), printre altele, de: „adaptarea curriculumului la aşteptările societății şi la realităţile sistemului de învăţământ, având ca obiectiv pregătirea elevului pentru viaţă şi profesie“, de respectarea „…diferenţelor între elevii de aceeaşi vârstă (ritm de învăţare, nivel de achiziţii anterioare, motivaţie internă, specific cultural şi comunitar)“ şi a fost gândită astfel încât „…să poată fi parcursă în 75% din timpul alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) fiind la dispoziția profesorului pentru activități remediale, de fixare sau de progres“ . Dacă s-ar mai fi ţinut cont şi de spusele lui Freudenthal, ar fi fost minunat.
Ne consolăm cu faptul că, pentru prima dată găsim în textul unei programe de clasa a V-a în mod explicit ideea că: „Abordarea elementelor de geometrie urmăreşte, cu precădere, dezvoltarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice şi formarea deprinderilor de identificare, investigare și construcţie a figurilor şi corpurilor geometrice“ .
Având în vedere cele expuse mai sus, ne încăpăţânăm şi insistăm asupra rolului şi importanţei construcţiilor geometrice în învăţământul preuniversitar ca element de sprijin în trecerea către geometria bazată de raţionament şi înţelegerea acestui domeniu, ca mijloc important în rezolvarea de probleme geometrice, ca activitate relevantă în cotidian; iar, dacă ideea celor de la şcoala Waldorf nu bate cu idealul educaţional al societăţii româneşti de astăzi şi nu putem „strecura“ mai mult noţiunile de construcţii geometrice în programa şcolară, putem măcar să venim în sprijinul elevilor cu o ofertă de opţional la nivel de CDŞ.