Ecuațiile logaritmice ocupă un loc important în programa de matematică a clasei a X-a, fiind studiate împreună cu ecuațiile exponențiale (rezolvarea ecuațiilor exponențiale și logaritmice). Studiul acestui tip de ecuații contribuie la înțelegerea profundă a conceptului de logaritm (exponent), care este inversul funcției exponențiale. Elevii învață să transforme ecuațiile logaritmice în forme exponențiale echivalente şi să aplice proprietățile logaritmilor pentru simplificare. În acest mod, se dezvoltă competențe-cheie în rezolvarea problemelor și se realizează conexiuni cu conținuturi precum funcțiile exponențiale, proprietățile puterilor și radicalilor.
De asemenea, aplicarea logaritmilor este relevantă în diverse contexte practice (creștere/scadere exponențială, scala Richter, scăderea intensității sunetului etc.), ceea ce justifică și mai mult studierea lor de către elevii de liceu. Introducerea logaritmilor se face astfel încât elevii să-și însușească definițiile (de exemplu, logaritmul lui b>0 în baza a>0,a≠1 este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține b) şi formulele fundamentale, conform manualelor școlare.
Considerații metodice
În predarea ecuațiilor logaritmice, profesorul trebuie să țină seama de câteva aspecte metodice esențiale:
– Dificultăți comune ale elevilor: Mulți elevi întâmpină dificultăți la înțelegerea condițiilor de existență ale logaritmului (argumentul pozitiv, baza diferită de 1). Este frecventă confuzia între logaritm și operații aritmetice uzuale, iar transformarea ecuației logaritmice într-o formă exponențială echivalentă le poate părea abstractă. În plus, recunoașterea corectă a formelor de ecuații logaritmice (de ex. cu logaritmi sumați sau cu baze diferite) poate fi greu inițial.
– Strategii didactice: Se recomandă o abordare graduală, pornind de la exemple simple de transformări logaritmice și exponențiale. Profesorul poate utiliza reprezentări grafice ale funcției logaritmice pentru a evidenția relația cu funcția exponențială. Se impune verificarea condițiilor de existență și aplicarea identităților logaritmice. Exemplu: \log_a f(x) = \log_a g(x) implică f(x) = g(x), cu f(x), g(x) > 0.
– Legătura cu alte conținuturi: Logaritmii sunt însoțiți de studiul funcției logaritmice și a proprietăților acesteia, precum și de funcția exponențială. Ecuațiile logaritmice servesc drept punte spre inecuații și aplicații practice (dobândă compusă, modele de creștere).
Exemple de exerciții reprezentative
1. Ecuație simplă: log₂ x = 3 → x = 8. Verificăm x > 0.
2. Ecuație cu logaritmi egali: log₃(2x-1) = log₃(x+2) → 2x-1 = x+2, x = 3.
3. Ecuație cu sumă de logaritmi: log₅(x-1) + log₅(x+1) = 2 → log₅[(x-1)(x+1)] = 2 → x² – 1 = 25 → x = ±√26, cu verificarea domeniului.
4. Ecuație cu baze diferite: log₂ x = log₄(2x) → log₂ x = ½·log₂(2x) → x² = 2x → x = 0 sau x = 2, se validează doar x = 2.
5. Necunoscuta în bază: logₓ 9 = 2 → x² = 9 → x = 3 (x > 0, x ≠ 1).
Fiecare exercițiu presupune verificarea condițiilor de existență și aplicarea corectă a proprietăților logaritmice.
Bibliografie
– Ministerul Educației (2013), Matematică – clasa a X-a, Curricula școlară.
– Ganga, M., Matematică – Manual pentru clasa a X-a, Ed. MathPress, București, 2001.
– Burtea, M., Burtea, G., Matematică – Manual pentru clasa a X-a, Ed. Carminis, 2005.
– Burtea, M., Burtea, G., Culegere de probleme clasa a X-a, Ed. Carminis, 2005.
– Purcaru, M., Didactica matematicii, Ed. Didactică și Pedagogică, 2010.
– Platforme: Digitaledu.ro, Didactic.ro