Pentru a putea formula răspunsul la această întrebare, trebuie să vedem ce este o conjectură. Conform DEX, o conjectură este „o părere bazată pe ipoteze sau pe presupuneri; prezumție, supoziție; judecată probabilă”. Conjectura lui Goldbach este, de fapt, o afirmație a matematicianului Christian Goldbach, făcută într-una din scrisorile acestuia către Leonhard Euler, în anul 1742, care spune: „Orice număr par mai mare decât 2 poate fi scris ca sumă a două numere prime.” Cu o formulare atât de simplă, acceptată și de către faimosul matematician Euler, această conjectură este considerată a fi una dintre cele mai vechi probleme nerezolvate din teoria numerelor. Aceasta a rămas de nerezolvat pentru aproape trei secole și a atras atenția mai multor matematicieni de renume, într-o luptă de demonstrație a ei.
Pentru această conjectură, există două variante de enunț. Forma sa originală a fost enunțată în anul 1742 de către Goldbach: „Fiecare număr par mai mare decât 2 poate fi exprimat ca sumă a două numere prime”. Ca atare, această formulare a atras după ea și o formulare considerată a fi mai slabă, respectiv „Fiecare număr impar mai mare decât 5 poate fi exprimat ca sumă a trei numere prime”.
Această versiune slabă a conjecturii lui Goldbach fost demonstrată de matematicianul rus Vinogradov, în anul 1937. Această demonstrație nu a rezolvat complet conjectura, dar a oferit o contribuție majoră către înțelegerea problemei propuse de către Goldbach.
De-a lungul ultimelor două secole, înaintarea dezvoltării tehnologiei a permis testarea conjecturii pentru numere din ce în ce mai mari, astfel că au fost verificate numere ce conțin până la 18 cifre. Acest lucru oferă o puternică susținere a conjecturii, însă nu oferă o demonstrație matematică a acesteia.
Pentru o mai bună înțelegere a acestei conjecturi, propusă de Goldbach, trebuie să prezentăm puțin numerele prime. Acestea sunt numerele naturale care admit ca divizori doar pe 1 și pe ele însele. Această distribuție a numerelor prime este una dintre cele mai studiate și abordate teme din matematică și reliefează o lipsă de regularități simple, lucru care face ca demonstrarea conjecturii să fie atât de dificilă.
Pe de altă parte, lucrările lui Hardy și Littlewood din anii 1920 au fost deosebit de influente, referitor la a demonstra conjectura. Au fost folosite metode analitice, care implică utilizarea funcțiilor și seriilor infinite, precum funcția zeta a lui Riemann, în studierea numerelor prime. Aceștia au formulat o serie de teoreme care sugerează că distribuția numerelor prime ar trebui să permită, teoretic, exprimarea unui număr par ca o sumă de două numere prime.
De asemenea, matematicianul rus Ivan Vinogradov a folosit tot metode analitice pentru a demonstra așa-numita formă slabă a conjecturii lui Goldbach, și anume că orice număr impar suficient de mare poate fi exprimat ca sumă de trei numere prime. Această metodă este cunoscută drept metoda cercurilor și a deschis drumul noilor cercetări în teoria numerelor prime.
Considerată, după cum am spus, una dintre cele mai vechi probleme nerezolvate din matematică, în ultimele decenii cercetătorii au continuat să exploreze conjectura lui Goldbach folosind o varietate de tehnici matematice. Un exemplu care a ieșit în evidență în mod particular este demonstrația oferită de către Terence Tao în anul 2013, care a arătat că fiecare număr impar, suficient de mare, este suma a cel mult cinci numere prime. Deși acest rezultat nu oferă o rezolvare completă a conjecturii, este considerat un pas important în direcția aceasta.
Conjectura lui Goldbach nu este importantă pentru matematică, doar din prisma faptului că reprezintă o provocare intelectuală. Aceasta are conexiuni cu alte probleme din teoria numerelor. Ea este strâns legată de alte probleme celebre, precum ipoteza lui Riemann, care este, de asemenea, o problemă nerezolvată, dar centrală, din teoria numerelor.
Susținută de progresul tehnologiei, testarea conjecturii lui Goldbach a putut fi făcută cu calculatoare performante, astfel au fost verificate numere foarte mari și au fost oferite dovezi experimentale puternice în favoarea acesteia. Totuși, aceste verificări numerice, deși extinse, nu pot oferi o demonstrație riguroasă a acestei conjecturi.
Algoritmii moderni, cum ar fi cei folosiți în criptografie, se bazează adesea pe proprietățile numerelor prime. Deși acești algoritmi nu oferă o soluție directă pentru conjectura lui Goldbach, ei ilustrează cât de strâns legate sunt studiile numerelor prime de alte domenii ale matematicii și științei calculatoarelor.
Prin urmare, conjectura lui Goldbach rămâne una dintre cele mai provocatoare probleme din matematica modernă. În ciuda muncii asidue oferite de către matematicieni, această conjectură nu a putut fi demonstrată. Cu toate acestea, progresul tehnologiei și susținerea oferită de către testările computaționale extinse au oferit o susținere empirică considerabilă pentru conjectură.
(Text elaborat cu ajutorul OpenAI, 13 August 2024)
Bibliografie
1. Goldbach, C. (1742), „Epistola ad Eulerum”.
2. Tao, T. (2013), „Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes.”
3. Vinogradov, I. M. (1937), „Representation of an odd number as a sum of three primes.”