De-a lungul timpului, am găsit în manualele sau culegerile de matematică trei probleme cu enunț diferit, dar a căror rezolvare matematică este identică. Este bine pentru a oferi elevilor sau iubitorilor de matematică exemple de acest fel, reușind să-i atragem spre această disciplină. În cele ce urmează sunt redate enunțurile celor trei probleme și rezolvarea lor.
1. Un cioban avea un număr de oi. Dacă le grupează câte două, câte trei, câte patru,câte cinci sau câte şase de fiecare dată rămâne câte o oaie. Dacă le grupeaza câte şapte nu mai rămâne nici o oaie. Puteţi spune câte oi are ciobanul?
2. Un strungar a efectuat într-o săptămână un număr de piese. Dacă le grupează câte două, câte trei, câte patru,câte cinci sau câte şase de fiecare dată rămâne câte o piesă . Dacă le grupeaza câte şapte nu mai rămâne nici o piesă. Câte piese a realizat strungarul?
3. O gospodină merge într-o zi să vândă ouă la piaţă. Un domn grăbit dă peste coşul cu ouă şi le sparge. Politicos, domnul grăbit vrea să o despăgubească pe gospodină şi o întreabă căte ouă a avut, ca să i le plătească. Aceasta îi spune că nu ştie, dar îşi aminteşte că dacă le grupează câte două, câte trei, câte patru,câte cinci sau câte şase de fiecare dată rămâne câte un ou, iar dacă le grupeaza câte şapte nu mai rămâne nici un ou. Câte ouă a avut gospodina?
Rezolvare
Notăm cu a numărul de obiecte care trebuie aflat, unde obiectele fac parte din mulţimea: oaie, piese,ouă. Din teorema împărţirii cu rest avem că:
a:2=c_1,rest 1, adică a=2*c_1+1, adică a – 1=2*c_1;
a:3=c_2,rest 1, adică a=2*c_2+1, adică a – 1=2*c_2;
a:4=c_3,rest 1, adică a=2*c_3+1, adică a – 1=2*c_3;
a:5=c_4,rest 1, adică a=2*c_4+1, adică a – 1=2*c_4;
a:6=c_5,rest 1, adică a=2*c_5+1, adică a – 1=2*c_5;
Obținem că (a-1)∊M_2∩M_3∩M_4∩M_5∩M_6.
Tradus în matematică, a-1 aparţine mulţimii multiplilor comuni a numerelor 2, 3, 4, 5, 6. Cum cel mai mic multiplu comun a numerelor 2, 3, 4, 5, 6 este 60 rezultă că a-1 aparţine mulţimii multiplilor lui 60, care este:
M_2∩M_3∩M_4∩M_5∩M_6=M_60={0,60,120,180,240,300,360,420,490,…},
de unde rezultă că a∊{1,61,121,181,241,301,361,421,491,…}
Print-o simplă împărţire la şapte a numerelor de mai sus, se observă că numărul căutat este 301. Deci ciobanul are în curte 301 oi, strungarul a lucrat 301 piese şi gospodina a avut 301 ouă.
Putem pune elevii să facă niște împărțiri, dar dacă nevor întreba de ce trebuie să le face, ce le vom spune? Prin cerințe formulate asemănător celor de mai sus, dacă ne vor întreba de ce trebuie să rezolve problema, vom putea pune accentul pe aspectul practic al matematicii pentru a afla câte oi are ciobanul sau câte ouă are femeia care merge la piață sau câte piese a făcut strungarul.