Problematizarea (predarea prin rezolvare de probleme) este una dintre cele mai folositoare metode datorită caracterului ei euristic, activizator și puternic formator. Ea creează dificultăți practice sau teoretice a căror rezolvare trebuie să fie rezultatul propriei activități de cercetare a elevului. Situațiile create de profesor prin care elevul este determinat ca prin activitate proprie să găsească definiția unei noțiuni, enunțul unei propoziții matematice, un algoritm de calcul sau o nouă metodă de demonstrație se numesc situații-problemă.
Situațiile problemă pot fi de mai multe tipuri:
– contradicții între posibilitățile existente ale elevului și cerințele în care este pus de noua problemă;
– necesitatea selectării din cunoștințele anterioare a celor care sunt folositoare;
– integrarea noțiunilor selectate într-un sistem, stabilirea ineficienței sale operaționale și precizarea necesității completării acestuia.
Pentru utilizarea acestei metode, trebuie să fie îndeplinite mai multe condiții: este necesar să existe la elevi un fond aperceptiv suficient, dozarea dificultăților se face în funcție de o anumită gradație; se alege cel mai potrivit moment pentru plasarea problemei în lecție; se manifestă un real interes pentru rezolvarea problemei.
Misiunea profesorului este dificilă, deoarece el trebuie să descopere, să genereze „situații problemă” care să solicite gândirea elevilor, să clarifice datele, să regrupeze cunoștințele deschizând căi de rezolvare a situațiilor date.
Problematizarea nu trebuie să se confunde cu rezolvarea de probleme matematice. Se poate aplica pentru activități destinate asimilării enunțurilor și pentru demonstrații.
Vom evidenția acest lucru prin câteva exemple.
1. La clasa a VIII-a, studiul poliedrelor (prisma, piramidă, trunchi de piramidă) se realizează punând în evidență: definiția, elemente, aria laterală și aria totală, volumul și proprietăți. Când se începe studiul corpurilor rotunde apare necesitatea ca elevul să stabilească aceiași pași după care, apoi, se rezolvă probleme inclusiv cu corpuri înscrise.
În predarea-învățarea matematicii prin problematizare, profesorul are ca scop principal să-i facă pe elevi să gândească. Mijlocul îl reprezintă rezolvarea problemelor care cer un anumit grad de creație de către elevi. Problemele trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
- să aibă sens și să țină seama de cunoștințele anterioare ale elevului;
- să fie adresate în momentul cel mai oportun din punct de vedere al elevului;
- să trezească interesul și să solicite efort din partea elevului.
Etapele de rezolvare a unei situații-problemă sunt:
- prezentarea situației-problemă de către profesor;
- definirea problemei de către elev;
- formularea de ipoteze de către elev care pot fi aplicate în vederea unei soluții;
- realizarea verificării ipotezelor, până când se găsește una care conduce la soluția căutată.
2. La lecţia de clasa a VIII-a: “Axa numerelor reale” poate fi folosită prin următoarea situație-problemă creată:
„Pe o şosea, borna kilometrică pe care scrie 48 apare întotdeauna înaintea bornei pe care scrie 61? ”
Altă situaţie problemă, de data aceasta folosită la lecţia de geometrie „Tetraedrul şi piramida”:
Care este numărul maxim de triunghiuri echilaterale ce se pot forma cu ajutorul a şase beţe de chibrit? solicită din partea elevului o imagine în spaţiul tridimensional a corpului geometric ce se formează din cele şase beţe de chibrit şi-l provoacă să descopere triunghiurile căutate.
3. La clasa a V-a, putem propune următoarea situație problemă:
Dacă scădem dintr-un număr necunoscut pe rând, numerele 11, 13 și 16, găsim trei diferențe care, adunate, ne dau numărul necunoscut. Care este acest număr?
În încercarea de a răspunde întrebării, elevii vor da câteva variante de soluții, însă prima dificultate apare atunci când vor trebui să răspundă la întrebarea: ”ce rămâne dacă din numărul necunoscut x scădem pe 11?”
În această situație, elevii vor nota diferențele sub forma:
x – 11 prima diferență
x – 13 a doua diferență
x – 16 a treia diferență
Apoi, profesorul le reamintește elevilor că ” … găsim trei diferențe care, adunate, ne dau numărul necunoscut”, iar ei sunt conduși la ideea adunării celor trei diferențe:
(x-11)+(x-13)+(x-16)
după care, li se repetă faptul că suma diferențelor este ”.. numărul necunoscut”, adică se sugerează faptul că urmează o egalitate ” =” între suma de mai sus și numărul necunoscut x.
Obținem ecuația:
(x-11)+(x-13)+(x-16)=x
care se rezolvă fără dificultăți, și se obține: x=20 este numărul căutat.
4. Putem propune elevilor să demonstreze teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Soluție (demonstrație). Elevii sunt invitați să se gândească cum s-ar putea demonstra această teoremă, folosindu-se de cele două teoreme studiate anterior, respectiv teorema înălțimii și teorema catetei.
„Construim mai întâi înălțimea AD corespunzătoare ipotenuzei” spune un elev. Apoi profesorul aprobă acest pas, și se trece la scrierea demonstrației.
În triunghiul dreptunghic ABC (∢A = 90°), notăm cu D proiecția lui A pe BC. Deoarece unghiurile B și C sunt ascuțite, rezultă că D se găsește pe latura BC, iar segmentele BD și CD sunt proiecțiile catetelor AB respectiv AC pe ipotenuză.
„Aici putem scrie teoreama catetei pentru catetele triungiului dreptunghic ABC”, mai completează un elev. Profesorul îi dă dreptate, și de aici decurge restul demonstrației.
Folosind teorema catetei, obținem BD=〖AB〗^2/BC și D=〖AC〗^2/BC , dar cum BD+CD=BC, prin înlocuire, deducem:
〖AB〗^2/BC+〖AC〗^2/BC=〖BC〗^2/BC=BC
deci, 〖AB〗^2+〖AC〗^2=〖BC〗^2.
La final, profesorul mai face câteva observații, referitoare la aplicarea teoremei, iar elevii sunt rugați să exprime laturile AB și AC ale triunghiului cu ajutorul relației obținute mai sus.
Observație. Teorema lui Pitagora permite aflarea lungimii unei laturi a unui triunghi dreptunghic atunci când cunoaștem lungimile celorlalte două laturi:
1) cunoscând lungimile catetelor, lungimea ipotenuzei este: BC=√(〖AB〗^(2 )+ 〖AC〗^(2 ) );
2) cunoscând lungimea unei catete și lungimea ipotenuzei, cealaltă catetă este:
AB=√(〖BC〗^(2 )- 〖AC〗^(2 ) ) sau AC=√(〖BC〗^(2 )- 〖AB〗^(2 ) ).
Bibliografie
Ardelean, L., Secelean, N., Didactica matematicii: noțiuni generale; comunicare didactică specifică matematicii, Editura Universității ”Lucian Blaga”, Sibiu, 2007.
Basarab, C., Ivășchescu, N., Nanu, I., Niculescu, L., Pătrașcu, I., Tălău, N., Probleme de matematică pentru clasele V – VIII, Editura Cardinal, Craiova, 1994.
Bălăucă, A., Negrescu, A., Gându, Gh., Chirilă, C., Pârlog, L., Gloambeș, L., Matematică , teme pentru actvități opționale, clasele V-VIII, Ediția a II-a, Editura Taida, Iași,
Cîrjan, F., Didactica matematicii, Editura Corint, București, 2008.
Dan, C.T., Chiosa, S.T., Didactica matematicii, Editura Universitaria, Craiova, 2008.
Dăncilă, I., Matematică distractivă, clasele a V-a și a VI-a, Editura Art, București, 2012.
Dăncilă, I., Matematică distractivă pentru clasele a VII-a și a VIII-a, Editura Art, București, 2012.
Smărăndoiu, Ș., Magia performanței – magia numerelor, metode și principii de rezolvare, Editura ”Școala cu Ceas”, Râmnicu Vâlcea, 2015.