De la scrierea numerelor utilizând forme de reprezentare echivalente la numerele raționale și submulțimile lor, puteri și notații științifice, lecțiile de matematică prezintă proprietăți și concepte avansate privitoare la numere, reguli atât în ciclul gimnazial, cât și cel liceal. Teoria numerelor are ca obiect studiul numerelor, al proprietăților lor și al relațiilor dintre ele.
„Matematica este o limbă și o știință.” – Lucian Blaga
La începuturile apariției matematicii, multe noțiuni abia se conturau pe baza activității practice. O primă separare, între noțiunile de geometrie și cele de aritmetică, s-a făcut în antichitate.
Una dintre cele mai vechi școli unde s-au desprins probleme de teoria numerelor a fost școala pitagoreică, care începe cu Pitagora (570–500 î.Hr.). De la această școală au rămas noțiunile de număr par și impar, de număr prim și de număr compus, noțiunea de numere relativ prime, de numere perfecte, de numere prietene (sunt prietene dacă suma divizorilor lui a este egală cu suma divizorilor lui b), teoria proporțiilor și a progresiilor aritmetice și geometrice. În teorema lui Pitagora din geometrie găsim germenele marii teoreme a lui Fermat: rezolvarea în numere întregi a unei ecuații.
Cum au apărut ecuațiile?
O ecuație este o propoziție matematică ce afirmă că două expresii matematice sunt egale (o identitate) doar pentru anumite valori ale variabilelor implicate în acestea (sau chiar pentru nicio valoare). Valorile variabilelor pentru care egalitatea este adevărată poartă numele de soluții. Propozițiile matematice care definesc ecuațiile pot fi adevărate (dacă au cel puțin o soluție) sau false (dacă nu au soluție).
Ecuațiile de gradul întâi și cele de gradul al doilea erau rezolvate, prin indicarea verbală a operațiilor, cu circa 2000 de ani î.Hr., de când datează documentele scrise egiptene și caldeene. În antichitatea greacă erau cunoscute unele identități algebrice, exprimate sub formă geometrică, și erau rezolvate grafic unele ecuații de gradul al treilea și al patrulea.
Denumirea acestor ecuații derivă de la numele matematicianului grec Diofantos din Alexandria. Diofant (sec. III) utiliza litere speciale pentru operații și numere, inițiind notațiile simbolice. Diofant din Alexandria (n. între 200 și 214 d.Hr. la Alexandria – d. între 284 și 298) este considerat de mulți autori ca fiind părintele algebrei.
Astfel, Diofant a fost autorul unei serii de cărți grupate sub titlul Arithmetica. Se pare că această operă a avut în original 13 cărți, din care au rămas doar 7.
„Aritmetica” este o colecție de 150 de probleme cu soluții aproximative ale unor ecuații determinate de grad cel mult trei și conținând totodată ecuații nedeterminate. Acestea din urmă sunt legate de teoria numerelor.
În lucrările sale, Diofant expune metodele utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I și al II-lea. Necunoscutele sunt notate prin simboluri și sunt folosite consecvent semnele de operație. La Diofant apare pentru prima dată noțiunea de număr negativ, deși nu a lucrat cu astfel de numere. Ecuațiile care conduceau la numere negative le considera imposibile.
Algebra s-a dezvoltat considerabil în Renaștere, fixându-se acum notația simbolică actuală. Niccolò Tartaglia (1557) a dat metoda generală de rezolvare a ecuației de gradul al treilea, și Ludovico Ferrari (1522–1565) a ecuației de gradul al patrulea.
François Viète (1540–1603) a efectuat calcule algebrice cu formule literale și a dat relațiile dintre rădăcini și coeficienți (Formulele lui Viète).
În secolul al XIX-lea s-au obținut rezultate remarcabile în teoria ecuațiilor algebrice prin lucrările lui Niels Henrik Abel (1802–1829), care a arătat că, în general, ecuațiile de gradul al cincilea și superior nu sunt rezolubile prin radicali, și Évariste Galois (1811–1832), care a stabilit condițiile în care o ecuație algebrică este rezolubilă prin radicali.
Aspecte generale privind noțiunea de ecuație diofantică
Prin ecuație diofantică înțelegem o ecuație de forma F(x1, x2, …, xn), unde F este un polinom în n nedeterminate cu coeficienți în R, pentru care se cer soluțiile (x10, x02, …, x0n).
Definiția 1. Se numește ecuație diofantică o ecuație de forma:
f(x1, x2, …, xn) = 0 (1)
unde f este o funcție de n variabile și n ≥ 2.
Se numește ecuație diofantică ecuația de forma:
P(x1, x2, …, xn) = 0,
unde P(x1, …, xn) este un polinom cu coeficienți întregi.
Dacă f este un polinom cu x1, x2, x3, …, xn, având coeficienți întregi, o ecuație de forma f(x1, x2, x3, …, xn) = b, unde b ∈ Z, se numește ecuație diofantică dacă soluțiile ei sunt numere întregi; dacă are forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b, se numește ecuație diofantică liniară.
O ecuație diofantică admite soluții întregi dacă și numai dacă b este divizibil cu c.m.m.d.c. al coeficienților ak, k ∈ {1, 2, …, n}.
În cadrul cercetării ecuațiilor diofantice, se abordează următoarele întrebări:
- are ecuația rădăcini întregi;
- este finită sau infinită mulțimea rădăcinilor întregi;
- să se rezolve ecuația în mulțimea Z, adică să se determine toate soluțiile întregi ale ecuației;
- să se rezolve ecuația peste N.
Clasificarea ecuațiilor în funcție de coeficienți
- Ecuații algebrice cu coeficienți reali:
Dacă o ecuație algebrică, având coeficienți reali, admite rădăcina complexă nereală a + bi, atunci admite și rădăcina a – bi, ambele cu același ordin de multiplicitate.
Consecințe:
- Orice ecuație algebrică, având coeficienți reali, admite un număr par de rădăcini complexe nereale;
- Orice ecuație algebrică, având coeficienți reali, de grad impar, admite cel puțin o rădăcină reală;
- Orice polinom cu coeficienți reali, de grad mai mare sau egal cu 1, se poate exprima sub forma unui produs de polinoame de gradul I sau II, cu coeficienți reali.
Bibliografie
- Andrica, D., Duca, D., Purdea, I. și Pop, I. (2004). Matematica de bază. Editura Studium.
- Becheanu, M., Niță, C., Ștefănescu, M., Dincă, A. și Purdea, I.
- Purdea, I. și Pop, I. (2003). Algebra. Gill.
- Purdea, I. și Pelea, C. (2005). Probleme de algebră. Editura EFES.
- *** Manualele din învățământul preuniversitar (ediții MEC).
nrrationale.wikispaces.com/file/view/algebra7nrrationale.ppt